奥门永利误乐域真的干杯,要敢于做到所有杯子互相接触

如果把酒杯布局方案扩展到空间中的话,理论上这是可以做到的——只需要像下图那样,把第四个酒杯置于三个酒杯之上就行了。

  据说,阿基米德在尼罗河谷期间,曾发明了所谓“阿基米德螺旋水车”,这种装置可以用来把水从低处提到高处。有趣的是,这一发明,直至今日仍在使用。他的发明证明了阿基米德的双重天才:他既可以脚踏实地地研究实际问题,又能够在最抽象、最微妙的领域中探索。亚历山大显然适合发挥他的才干,但阿基米德还是返回了他的故乡叙拉古城,据我们所知,就在那里度过了他的后半生。叙拉古城虽然十分闭塞,但阿基米德一直保持着与全希腊,特别是与亚历山大学者们的通信联系。这种书信往来,使得阿基米德的许多著作得以保存。

还可以再多一些吗?

如果圆柱体的个数上升到八个,还能找到满足要求的布局方案吗?这个问题的上限究竟是多少?直到现在,数学家们仍然没有得到一个定论。茶余饭后拿八支香烟摆弄摆弄吧,或许你能破解一个数学未解之谜呢!

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  “他的发现数量众多,令人钦佩;但据说他在弥留之际,曾请求他的朋友和亲属在他的墓上置放一个内盛球体的圆柱体,并且要使球体按照二者之间的比例(即,3∶2)内接于圆柱体。”

还可以再多一些吗?

事情并没有到此结束。趣味数学大神 Martin Gardner 在 Hexaflexagons and
other mathematical diversions
一书中提到了这么一个问题:能否摆放七支香烟,让它们两两之间都有接触?Martin
Gardner
自己给出了一个非常精妙的答案:让其中一个圆柱体直立在桌面上,另外六个圆柱体分两层在周围环绕。

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七个圆柱体互相接触的摆放方案(及其俯视图)

阿基米德名作:《论球和圆柱》 

还可以再多一些吗?

在保证互相接触的前提下,酒杯的数量还能更多吗?这个貌似很蛋疼的问题早就引起了数学家们的关注,有人还严肃地把它抽象成了一个空间几何数学问题,进行了更为细致的研究。1968
年,数学家 Littlewood
在一篇论文中正式发起提问:空间中两两之间互相接触的圆柱体最多可以有多少个?

如果不限定圆柱体的长度,我们很容易找到六个圆柱体互相接触的布局。如下图,把其中三个圆柱体摆成“\|/”形,让他们互相接触;再把它们重叠在另外一组“\|/”形的圆柱体之上,便实现了六个圆柱体两两接触的要求。如果你手边有足够多的铅笔,不妨自己试一试。

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六个圆柱体互相接触的摆放方案

  这次,阿基米德假设圆的面积小于三角形面积,因而,T-A代表三角形面积对圆面积的超出量。我们知道,我们可以作一个圆外切正多边形,其面积大于圆面积,但小于T-A。也就是

理论上说,四个酒杯互相接触也是可以的。

  请注意,阿基米德依然没有将球体体积表述为简单的代数公式,而是借助了一个更简单的立体(本例为圆锥体)体积(图4.8)。我们只要略加努力,就可以把他的文字陈述转变为现代等价公式。

还可以再多一些吗?

大家或许会认为,这已经是极限了吧。如果有五个酒杯,还能保证两两之间都能接触吗?出人意料的是,这也是可以办到的,只不过更加困难一些:

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五个酒杯互相接触的布局。注意,要想实现这种布局,酒杯的高度必须是直径的两倍左右,而且角度很难控制,建议大家不要去尝试。即使是成功了,恐怕酒也洒得差不多吧。

  然而,相对于所有这些成就,他无可争议的代表作则是一部内容广泛的两卷本著作,题为《论球和圆柱》。在这部著作中,阿基米德以其近乎超人的智慧,确定了球体及有关几何体的体积和表面积,从而像在《圆的测定》中对二维图形的研究一样,解决了三维立体的问题。这是一项伟大的成就,阿基米德自己似乎也认为,这标志着他数学事业的顶峰。

从平面几何的角度来说,三个人干杯是最完美的——三个酒杯可以两两之间互相接触。一旦干杯的人数上到了四个,问题就有些麻烦了:对于每一种固定的干杯姿势,总有两个人的杯子挨不到一块儿。有办法让四个酒杯两两之间都能碰到一起吗?

  用现代术语表示,阿基米德的命题就是

是糟糕透顶的数系,而且没有估算平方根的简单方法,但他的估算证实了他令人敬畏的才华。这些计算采用了笨拙的算术方法,犹如一个人戴着沉重的镣铐参加高栏赛跑。然而,阿基米德凭借他的智慧和毅力,成功地计算出了重要常数π的第一个科学近似值。犹如本章后记所述,自此,科学家再不曾停止过寻求高精确度的π近似值。

  这一公式准确地表达了阿基米德所说圆柱体的表面积等于球体表面积“一倍半”的意思。

  这个公式的优点之一是阐明了π与欧几里得命题Ⅻ.18提出的“体积常数”m之间的联系。参照我们以上的讨论,我们可以直接得出

  到了著名公式:

  17世纪初叶,一位德国数学家超越了所有前人,发现了精确到35位小数的π值。他的名字叫卢道尔夫·冯瑟伦,他用了几年时间钻研这个问题。像韦达一样,卢道尔夫也将新的十进制与旧的阿基米德方法结合起来,但他不是从正六边形开始并将其边数翻番的,卢道尔夫是从正方形开始的。到他完成的时候,他已推导出了有262条边的正多边形——或约4,610,000,000,000,000,000边形!不用说,这个多边形的周长与其外接圆的周长相差无几。

  我们先来看这两个初步定理。一个是关于正多边形面积的定理,正多边形的中心为O,周长为Q,边心距为h。这里,边心距是指从多边形的中心引向任何一条边的垂线长度。

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  约公元150年,亚历山大著名的天文学家和数学家克劳迪厄斯·托勒密在其《天文学大成》这部巨著中提出了π值的一个近似值。这部巨著集天文学信息之大全,从太阳、月球及行星的运动,到恒星的性质,无所不包。显然,对天体的精确观测需要复杂的数学基础,为此,早在《天文学大成》中,托勒密就作出了弦值表。

  这就概括了欧几里得的定理。所以,阿基米德的命题足以表明欧几里得的命题是一个不甚重要的系定理。因而,阿基米德的命题标志着数学上的一个真正进步。

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  我们继续引用普卢塔克的《马塞卢斯生平》一书,这本书是这位伟大的罗马传记作家在事件发生后约300年时写的。普卢塔克虽然是在为马塞卢斯作传,但他对阿基米德的钦敬心情却显而易见。这些描述使我们看到了一个非常引人,栩栩如生的阿基米德形象。

  证明
设正多边形(图4.2)有n条边,每条边长b。作从O到每个顶点的连线,将多边形划分为n个全等三角形,每个三角形的高为h(边奥门永利误乐域 10
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  因为(b+b+……+b)是周长。 证讫。

  乍一看,这一命题似乎非常深奥而陌生。但实际上,我们所感到陌生的,只是其语言,而不是其内容。由于没有代数,阿基米德只好用这种方式来表示他所求证的面积(本例为正圆柱体的侧面积)等于一个已知图形的面积(本例为一个圆)(图4.7)。但是,是一个什么样的圆呢?显然,阿基米德必须要指定他的等面积圆,这就是命题中所说的以比例中项为半径的圆。

伟大的定理:求圆面积

“一维”圆周长常数π的四分之一。所以,阿基米德的命题带给我们一个好消息,我们无需计算这两个不同的常数。如果我们能够从圆周长问题中确定π的值,就能够将其应用于圆面积公式。

  命题13
任一正圆柱除上下底面以外的表面积等于一圆的面积,该圆的半径是圆柱的高与底面直径的比例中项。 

  就这样,阿基米德走完了他的一生,他死了,像他活着时一样,执着于他所喜爱的数学。我们可以认为他是一位科学研究的殉难者,也可以认为他是自己无暇它顾的牺牲者。总之,古往今来,数学家不知有多少,但像阿基米德这样结局者,却是绝无仅有的。

  这是欧几里得对球体体积的认识,但对于球体的表面积,他却始终保持沉默。因而,对这个问题的成功解决,再次有赖于阿基米德《论球和圆柱》的出现。

  当然,这是对π值的非常粗略的估计,但阿基米德刚刚迈出第一步。接下来,他将这一内接多边形的边数加倍,得到一个正12边形。他必须计算出这个12边形的周长。正是在这个问题上,他使现代数学家惊叹不已,因为要确定十二边形的周长,就要算出3的平方根。当然,我们今天使用计算器或计算机,这已不是什么难事,但在阿基米德时代,不仅这些先进设备无法想象,而且,甚至没有帮助进行这种计算的适当数系。阿基米德
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学”近似值代表了对π值估算的第一阶段。如我们所知。阿基米德开创了第二阶段。他所应用的圆内接或外切正多边形周长的几何方法一直为17世纪中叶前的数学家所采用(这是阿基米德走在时代前面的又一个证明)。

  既然阿基米德已证明圆的面积与三角形面积相等,那么,他是否可以解决我们曾在第一章中讨论过的人们长期探索的求圆面积问题呢?答案当然是否定的,因为要成功地解决圆的求积问题,就必须要作出与圆面积相等的直线图形。但是,阿基米德的证明没有,也没有声称能够提供任何有关如何作这种等面积三角形的线索。当然,作出三角形的一条直角边等于圆的半径并不难,难的是作出三角形的另一条直角边,使之等于圆的周长。因为C=πD,所以,要作出圆的周长,就必须作出π。我们已知,这种作图是根本不可能的。阿基米德的证明决不能被解释成他试图据此作出圆的等面积正方形;情况不是这样。

  阿基米德《圆的测定》一书所留下的遗产之一是求我们称之为π的重要常数的更精确近似值。这一比率的重要性早在阿基米德之前很久便已为人所知,虽然阿基米德是科学地研究这一常数的第一人。在阿基米德之前,人们对π值的估算可以从《圣经》关于圆“海”(即一个盛水的大容器)的一段有趣的引文中推断出来:“……他又铸一个铜海……径十肘、围三十肘”(《列王记》,上,7∶23)。

  阿基米德尽管发明了许多利器和工具,但他真正喜爱的还是纯数学。与他发现的美妙定理相比,他的杠杆、滑轮和石弩都不过是雕虫小技。我们还是引用普卢塔克的话来说明:

阿基米德生平 

  然而,不幸的是,拉马努扬的事业,开始得如此奇特,结束得又如此仓促。第一次世界大战期间,拉马努扬在远离家乡的剑桥大学累垮了身体。有些人认为原因在于疾病,而另一些人认为,原因在于严格的饮食限制造成了严重的维生素缺乏症。为了恢复健康,他于1919年返回了印度,然而,他家乡的温馨却无法阻止他病情的恶化。1920年4月26日,拉马努扬与世长辞了,年仅32岁。从此,世界失去了一位数学奇才。

  似乎这种无理性还不够糟,1882年,费迪南德·林德曼又证明出π实际上是超越数,如我们在第一章中所述。对超越数的发现不仅解决了化圆为方的问题,而且,也说明了π不能形成涉及有理数平方根、立方根等等的任何一种初等表达式。朗伯和林德曼的研究表明,π不是那种易于进行数学分析的“佳”数。然而,公元前225年的阿基米德明白无误地指出π是所有数中最重要的数之一。

  随后,阿基米德继续平分内接多边形的边,得到正24边形,然后是正48边形,最后得到正96边形。在这一过程中,每一步他都要估算复杂的平方根,但他从不动摇。当他得到96边形时,他的估算值为

  在不等式的两边各加上“面积(内接正多边形)+T-A”,得

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  这样,就开始办理拉马努扬到英国来的手续。对于一个从小受到严格宗教熏陶的人来说,这是一件很复杂的事情,因为他在旅行、饮食等方面都有许多限制。但这些困难最后都被克服了,1914年,拉马努扬终于来到了剑桥大学。

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  这一假设表明,圆面积以一定量大于三角形面积。换言之,其超出量A-T是一个正量。阿基米德知道,通过作圆内接正方形,并反复平分正方形的边,他就可以得到一个圆内接正多边形,其面积与圆面积不等,且小于正量A-T。即

  体积(球体)=mD3

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  T<面积(内接正多边形)

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  设r为球体半径。那么,“底面积为球体最大圆面积,高为球体半径的圆锥体”就等于

  但是,与我们的讨论有关的问题是,他发现了1°弦的值(用现代十进制记数法)为1.0472p。因此,内接于这个圆的正360边形的周长就等于1°弦长的360倍,即376.992p。虽然利用正多边形的思想显然是阿基米德的思想,但托勒密的360边形却比其前辈的96边形推算出的π近似值精确得多。即,

  这一段文字描绘了这位数学家心不在焉的形象,对于阿基米德来说,整洁似乎已与他无关。当然,有关阿基米德“心不在焉”的故事,最著名的还是关于叙拉古城国王希伦的王冠的故事。国王怀疑金匠用一些合金偷换了他王冠上的黄金,就请阿基米德来测定王冠的真正含金量。正如故事所说,阿基米德一直解不开这道难题,有一天(在他少有的一次洗浴时),他忽然找到了答案。他兴奋得从浴盆里跳出来,跑到叙拉古城的大街上,边跑边欢呼:“我找到啦!我找到啦!”但遗憾的是,他完全沉浸在他的新发现之中,竟然忘记了还没穿衣服。很难想象街上的人们看见他一丝不挂地招摇过市,会说些什么。

  所以,圆柱体的体积等于球体体积的一倍半。

  阿基米德出生于西西里岛的叙拉古城。据说,他的父亲是一位天文学家,阿基米德从小就萌发了研究宇宙的兴趣,终生乐此不疲。阿基米德青年时代也曾到过埃及求学,并在亚历山大图书馆学习。这里曾是欧几里得治学之处,阿基米德自然也会受到欧几里得的影响,这一点在阿基米德的数学著作中可以很清楚地看出。

  但是,无穷级数的计算很快有了前途。数学家亚伯拉罕·夏普(1651—1742年)和约翰·梅钦(1680—1751年)等对无穷级数做了巧妙的修改,并产生了计算速度快得多的收敛级数。利用这些修改,夏普于1699年发现了精确到71位小数的π近似值,而7年后,梅钦则计算出100位小数的π值。并且,他们的方法远比可怜的卢道尔夫用大半生时间才抠出35位小数的方法简便得多。显然,级数方法宣告了古典方法的过时。

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  侧面积(圆柱)=面积(圆)=πx2=2πrh

  这是非常接近的估计。

  首先,我们看一个圆柱体外切半径为r的球体,其自身半径也等于r,并且,高h=2r。圆柱体的全部表面积等于侧面积(见命题13)与顶面积及底面积之和。因此,

  现在,他来考虑第二种可能性。 

  这种巨大的伤亡,用普卢塔克的话说,是“一件可怕的事情”,人们不会不同意他的说法。在这种情况下,马塞卢斯认为最好还是先撤退。他撤回了他的地面和海上部队,重新部署。罗马人经过认真研究,决定进行夜袭。他们以为,只要在夜幕掩盖下,贴近城墙,阿基米德的武器就没有用武之地了。然而,罗马人再次遭到了意外的打击。原来,不知疲倦的阿基米德已经为应付这种偷袭作好了充分的安排。罗马士兵一靠近城防,“石头就劈头盖脸地砸下来,同时,城内又射出飞箭”。结果,罗马人失魂落魄,不得不再次撤退,但又受到阿基米德远程武器的攻击,“损兵折将”。这次,自负的罗马军团“看到无形的武器给他们造成的重大伤亡,开始以为他们是在与诸神作战。”

  =面积(半径为x的圆)

  但是,外切正多边形(图4.5)的边心距h等于圆的半径r,而正多边形的周长Q显然大于圆的周长C。因此

  这是一个非常复杂的数学命题。阿基米德对其概念的熟练驾驭和他所表现出的深刻洞察力,似乎成为现代积分学思想的先声。显然这就是阿基米德被公认为古代最伟大数学家的原因所在。

  当欧洲人终于从中古时代的数学停滞中再度崛起的时候,发现精确π值的速度大大加快了。16世纪末,随着西蒙·斯蒂文(1548—1620年)等数学家的艰苦探索,现代十进制问世了,人们可以更方便、更准确地计算平方根。因而,当法国天才数学家弗朗索瓦·韦达(1540—1603年)试图利用阿基米德的方法计算π近似值时,他可以用正393,216边形推算出精确到9位小数的π值。他先按照阿基米德的方法作出正96边形,然后将正多边形的边数翻倍十几次,得到正393,216边形。即使阿基米德,在韦达的数系面前,也会惊讶,而十进制记数法则为韦达提供了用武之地。他所采用的基本方法仍然是阿基米德的方法,但韦达却拥有比阿基米德更先进的工具。

  这一正多边形也许有几百条边或几千条边,但这并不重要,重要的是它存在

  然而,阿基米德在其短小精炼的论文《圆的测定》中证明了有关结果,而这相当于现代涉及π的求圆面积公式。在证明中,他在圆周长(及因此产生的π)与圆面积之间建立了重要联系。他的证明需要两个非常直接的初步定理和一种非常复杂的逻辑方法,称为双重归谬法(反证法)。

  数学是阿基米德的最大遗产。在这一领域,阿基米德无可争议地被公认为古代最伟大的数学家。他的那些幸存下来的十几部著作及一些零散的文稿是最高质量的。其逻辑上的严谨与复杂,令后人惊叹不已。毫不奇怪,他一定非常精通欧几里得的理论并不愧为欧多克索斯穷竭法的大师;借用牛顿的名言,阿基米德一定是站在巨人的肩上。但是,过去的影响虽然很大,却不能充分解释阿基米德带给数学学科的巨大发展。 

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  侧面积(半径为r,高为h的圆柱)

  最后,阿基米德写道:“由于圆的面积既不大于、也不小于(三角形面积),因此,圆面积等于三角形面积。”证讫。

  但是,据说,这些数学公式一整天萦绕在他的脑海中。这些公式,有许多都是哈代这位世界上最优秀的数学家从来没见过的。逐渐地,他醒悟了,认识到这些公式“……一定是真实的,因为如果它们不真实,就不会有人能有这种想象力,发明出它们来。”哈代回到自己的房间,重新审看早上的信件,他意识到,这是一个大数学天才的杰作。

  如图4.1所示,公式中的C代表周长,D代表直径。

  依据这两个初步定理,我们就可以来看一看这位几何大师是如何证明《圆的测定》一书中的第一个命题的。 

  而罗马水师的情况也不见佳,

  这就是阿基米德极为精彩的间接证明方法——“双重归谬法”,将三种可能性中的两种引入逻辑矛盾。这种方法初看起来似乎有点绕圈子,但细想一下就会觉得非常合理。排除了三种可能性中的两种,就迫使人们得出结论,只有第三种可能性是正确的。当然,没有人能比阿基米德更熟练地应用双重归谬法了。

  “……从城墙上伸出了长长的杆子,在船上方投下重物,将一些船只击沉;而其他船只则被一只只铁臂或铁钩钩住船头,提升起来……然后又船尾朝下,投入海底;同时,另一些船只在其引擎的拖动下,团团乱转,最后撞碎在城下突起的尖峭岩石上,船上的士兵死伤惨重。”

  这个故事也许是杜撰的,但阿基米德发现流体静力学的基本原理却是千真万确的。他留给我们一篇题为《论浮体》的论文,阐述了他在这一方面的思想。除此以外,他还发展了光学,创立了机械学,他不仅发明了水泵,而且还发现了杠杆、滑轮和复式滑轮的工作原理。普卢塔克记叙过这样一个故事:多疑的希伦国王怀疑这些简单机械装置的能力,就请阿基米德实际演习一下。阿基米德以一种戏剧般的方式满足了国王的要求,他选择了国王一艘最大的船只,

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  还应指出,阿基米德的命题显然包含了欧几里得关于两个圆面积之比等于其直径的平方比这一比较平淡的命题。也就是,如果我们设一个圆的面积为A1,直径为D1,设第二个圆的面积为A2,直径为D2,则阿基米德证明

  公元前约225年,阿基米德发表了一篇题为《圆的测定》的论文,这篇论文中的第一个命题对圆面积作了十分透彻的分析。但是,在我们讲述这一不朽之作之前,我们有必要先介绍一下在阿基米德探讨这一问题时,有关圆面积问题的发展状况。

  阿基米德运用他最喜欢的逻辑方法——双重归谬法完成了对这个命题的证明,即,他先证明球体表面积不可能大于、然后又证明了也不可能小于其最大圆之面积的四倍。如果我们注意到球体“最大圆”的面积(即通过球体“赤道”的圆之面积)正等于πr2,那么,我们就可以把阿基米德对本命题的陈述(“球体的表面积等于其最大圆之面积的四倍”)转化成现代公式

  圆柱体全部表面积=2πrh+πr2+πr2

          =2πr(2r)+2πr2=6πr2

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  从欧几里得到我们将要介绍的下一位伟大数学家——叙拉古城举世无双的阿基米德(公元前287—212年)之间,经历了两三代人之久。阿基米德在其辉煌的数学生涯中,将数学疆界从欧几里得时代向前推进了一大步。实际上,此后将近两千年,数学界再没有出现过像阿基米德这样伟大的数学家。

  100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000

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  这样,就再次出现了矛盾,因为外切多边形的面积不可能既小于、又大于三角形的面积。因此,阿基米德推断,例2也是不可能的;圆面积不能小于三角形面积。

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  实际上,在这一点上,情节渐趋复杂,因为莱布尼兹的级数虽然确能接近π/4,但计算起来也实在太慢了。例如,即使我们用这一级数的前150项计算,我们所得到的π近似值也仅为3.1349……,想到工作量之大,则这一计算的准确性实在令人失望。据估计,如果我们要利用这一级数得到精确到100位小数的π近似值,我们就需要计算

  命题34
任一球体的体积等于底面积为球体最大圆面积,高为球体半径的圆锥体体积的四倍。 

后记

  外切正多边形也具有类似的规律。我们可以用一句话来概括这两种正多边形的规律,即,对于任何已知圆,我们都可以作出它的内接正多边形或外切正多边形,其面积可任意接近圆的面积。正是这句“可任意接近”成为了阿基米德成功的关键。

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  回头再看以前的讨论,现在我们能够确定“欧几里得”表达式A=KD2奥门永利误乐域,中常数k的数值。因为根据阿基米德的发现,我们知道,

  多项!因此,虽然莱布尼兹的级数预示了一种计算π近似值的新的算术方法,但它显然没有实用价值。

  关于这一命题,还有另外一个事实值得一提,那就是它的奇特性。因为没有任何直觉能让我们感到球体的表面积恰好等于其最大横截面面积的4倍。为什么就不能等于4.01倍呢?究竟是什么使这不可思议的数字“4”能够保证球体的曲面表面积恰好等于穿过球心的大圆面积的四倍呢?

  至此,阿基米德推导出了预期的矛盾,因为他已得出T<面积(内接多边形)和面积(内接多边形)<T两种结论。这在逻辑上是不成立的,因此,我们得出结论,例1是不可能的;圆面积不能大于三角形面积。

  我们首先应回顾一下古希腊人对三维立体表面积和体积的认识。如前一章所述,欧几里得证明了两个球体体积之比等于其直径的立方比;换言之,这里有一个“体积常数”m,因而,

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数,阿基米德的命题就成为3.140845……<π<3.142857……:这样,就确定了常数π的值,精确到两位小数,为3.14。

  写成了一封长信,分别寄给了英国三个最著名的数学家。其中两人把信退回了拉马努扬。显然,他们认为有比给一个不知名的印度小职员回信更紧迫的事情要做。

阿基米德的求圆面积定理

  拉马努扬与哈代从此开始了长达五年之久的非凡合作——后者是受过世界上最好数学教育的温文尔雅的英国人;而前者却是一位“未经雕琢的天才”,虽具有令人难以置信的能力,但数学知识却有很大局限性。有时,哈代只好像对待一个普通大学生一样指导这位年轻伙伴。而拉马努扬也常常提出一些从未见过的数学定理令他惊奇。

  例2 假设A<T。 

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